海伦公式_已知三边求三角形面积

公式展示

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

p=(a+b+c)/2为半周长

海伦公式由古希腊数学家海伦(Heron)在《度量论》中提出，已知三角形三边即可直接求面积，无需先求高。中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出了等价的"三斜求积术"：S=√[¼(a²c²-((a²+c²-b²)/2)²)]。

例1：直角三角形

三边3、4、5，求面积。
p=6，S=√(6×3×2×1)=√36=6

例2：等边三角形

三边均为4，求面积。
p=6，S=√(6×2×2×2)=√48=4√3≈6.93

例3：一般三角形

三边5、6、7，求面积。
p=9，S=√(9×4×3×2)=√216=6√6≈14.70

p是半周长不是周长

p=(a+b+c)/2，代入时不要忘记除以2。

三角不等式

三边必须能构成三角形(任意两边之和>第三边)，否则根号内为负，无实数面积。

和底高法的关系

海伦公式和S=½ah是等价的，只是已知条件不同：海伦公式已知三边，底高法已知底和高。

边a

边b

边c

半周长p-

面积-

海伦公式和秦九韶公式一样吗？

本质相同。秦九韶三斜求积术展开化简后与海伦公式等价，但形式不同。

海伦公式适用于所有三角形吗？

是的，只要三边满足三角不等式就能用。包括锐角、直角、钝角三角形。

已知三边还有其他方法求面积吗？

可以先用余弦定理求一个角，再用S=½ab sinC。结果和海伦公式一致。